頭の体操
男には引けない場面があるということ
男と言う生き物は自分の存在を確かなものとするために、絶対に引いてはいけない場面があります。
今日は男のプライドを賭けた熱いお話です。
（パソコンとは関係ありません）
きっかけは些細なことから・・・
こんにちは山脇です。
先日あったとある出来事についてお話します。
ある日、猪口先生が電卓を持って僕のところにやってきました。
猪口「山脇センセー、ちょっとこの電卓を持ってください。」
山脇「ん？いいけど？」
猪口「１から９の数字を1回ずつ好きな順番に押して下さい。」
ポチポチ
山脇「押したよ？」
猪口「そしたら、３で割って下さい」
山脇「÷３ね」
猪口「割り切れましたね。今度は違う順番でやって下さい」
ポチポチ
山脇「また割り切れたね・・・。」
猪口「どんな順番でも３で割り切れるんですよ。」
猪口「知ってましたか？（ドヤッ）」
山脇（なにこいつ、さも自分で考えたかのように言いやがって・・・。）
正直ムカついた
１から９までの数字を１回ずつ使うと、順番に関わらず必ず３で割れる件について検証する。
と、言うわけでスタッフにドヤ顔されて黙っていられるほど器の大きくない僕は、理由を検証することにしました。
問題の確認
赤枠内のボタンをどのような順番に押しても３で割り切れるそうです。
エクセルでいくつか計算してみました。確かに割り切れていますので本当のようですね。
一体どういう理屈なのでしょうか？
（しばし検証・・・）
しばらく電卓をいじっていると、縦１列や横１列、斜めでも同じ法則があることに気付きました。
エクセルでいくつか試した結果が上の図です。
９桁で法則を見つけることは難しそうなので、まずはこの３桁で法則を見つけたいと思います。
「・・・。」
各桁の余りの和が３の倍数になる
しばし考えて上記の共通点を見つけました。
例えば「987」の場合ですと
- ９÷３＝３ 余り０
- ８÷３＝２ 余り２
- ７÷３＝２ 余り１
となりますので、余りの和は「３」になります。
いくつか検証してこれで間違いはなさそうです。
なんとなく納得できそうではありますが・・・。
なぜそれなら割り切れるの？
という所が分かりません。
なのでさらに検証を進めることに・・・。
筆算をしてみる
各桁の余りが他の桁にどのように影響を与えるのかを検証するために、筆算で割り算を行ってみます。
計算上の余りという概念は分かり難いので、とりあえず液体として問題に取り組みます。
例えば879リットルの水を３リットルずつ配ったら何人に分配できて、何リットル余るのか？という感じですね。
これを筆算で表すと
こんな感じですね。
途中まで計算します。
最初の桁のみに着目すると・・・。
８リットルの水を３リットルずつ分けると２人に与えることが出来て、２リットル余ります。
筆算ではここで次の桁の「７」が下りてきて２７という数字が出来ます。
これは余った２を１０倍にして７を足すと言う操作をしていますので
数式で表すと
２０＋７＝２７
と、なります。
通常はこの２７リットルをさらに３で割ることで、９人に分配して余りがなくなるとなるのですが、
個別に考えてみます。
２０÷３＝６人 余り２リットル
７÷３＝２人 余り１リットル
合計で３リットル余っているので合わせれば１人に分配できます。
６人＋２人＋１人＝９人
と、なりますので別々に計算しても同じ答えが出ます。
上記の事をザックリ言葉で表すなら
「最上位の桁を３で割って余りを１０倍し、再度３で割った余りと次の桁を３で割った余りを足して再度割って余りを求める」
これを最後の桁まで繰り返していきます。
さてここで注目したいのは上図の赤字部分の「２」です。
これは「８÷３の余り」です。これを１０倍して再度３で割った余りを求めているのですが、上記の計算過程の通り結局余りは「２」になります。
つまり３で割った余りを１０倍して再度割っても同じ余りになるということです。
- １０÷３の余りは１ですし
- ２０÷３の余りは２です。
- ３０÷３の余りは３。すなわち０です。
- ４０÷３なら４なのでもう１つ取って余りは１です。
余談ですが、これを知っていると８００を３で割ったら２余ると言うことが瞬時に分かります。
話を戻すと
２０÷３＝６人 余り２リットル
で余りを計算していますが
これを詳細に書くと
（８÷３の余り）×１０÷３ ＝ ６人 余り２リットル
となり、上記の法則から
８÷３の余り ＝ 余り２リットル
とショートカットできます。
「最上位の桁を３で割って余りを１０倍し、再度３で割った余りと次の桁を３で割った余りを足して再度割って余りを求める」
この言葉にこのショートカットを適用すれば
「最上位の桁を３で割った余りと次の桁を３で割った余りを足して再度割って余りを求める」
と言い換えることが出来、これは余りを求めることにフォーカスするならば１０倍せずに直接余りを足して良いということです。
これが３で割る筆算の計算過程となります。
つまり３で割る場合に限り、各桁の余りの和がその割り算の余りになる。（正確に言うとそれを最後に３で割った余り）
だから余りの和が３の倍数ならば割り切れる
と、なる！
そして戦いに勝利した
山脇「と、言うわけだよ猪口君」
猪口「なるほど！」
こうして今日も小さなプライドを守り通しましたとさ
めでたしめでたし